Основні поняття теорії ймовірностей
ВИПАДКОВІ ПОДІЇ
Для опису випадкових подій — наслідків експерименту — застосовують такі поняття: прості (елементарні) та складені випадкові події, простір елементарних подій.
Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією.
Елементарні події позначаються wі (і = 1, 2, 3,…) і в теорії ймовірностей не поділяються на простіші складові.
Випадкова подія називається складеною, якщо її можна розкласти на прості (елементарні) події. Складені випадкові події позначаються латинськими великими літерами: A, B, C, D, … .
Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множина W елементарних подій wi, кожна з яких може відбутися (настати) внаслідок його проведення: wі Î W. Множину називають простором елементарних подій.
Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним. Якщо множина елементарних подій є зчисленною (зліченною), тобто всі її елементи можна перелічити або принаймні пронумерувати (кожній елементарній події поставити у відповідність один і тільки один елемент нескінченної послідовності натуральних чисел 1, 2, 3, …), то простір елементарних подій називають дискретним. Він може бути обмеженим і необмеженим.
У іншому випадку (тобто коли кожній елементарній події не можна поставити у взаємно однозначну відповідність певне натуральне число) простір елементарних подій називають неперервним.
Операції над подіями проводяться аналогічно операціям над множинами
Імовірністю випадкової події А називається невід’ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій m (0 ≤ m ≤ n), які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n простору Ω:
Р (А) = .
Для неможливої події Р (Æ)
= 0 (m = 0);
Для вірогідної події Р (Ω) = 1 (m = n).
Отже, для довільної випадкової події
0 ≤ Р (А) ≤ 1.
При розв’язуванні задач з теорії ймовірностей побудувати простір елементарних
подій (множину Ω) можна не завжди.
Для більшості прикладних задач така побудова пов’язана з виконанням великого
обсягу робіт, а нерідко й взагалі неможлива.
Щоб обчислити ймовірність тієї чи
іншої випадкової події для певного класу задач із дискретним і обмеженим простором елементарних подій, необхідно вміти обчислити кількість n усіх
елементарних подій (елементів множини Ω) і число m елементарних подій,
які сприяють появі випадкової події.
Існує клас задач, в яких для обчислення n і m використовуються елементи
комбінаторики: переставлення, розміщення та комбінації. У комбінаториці оперують
множинами однотипних елементів.
Загалом множини бувають упорядковані та невпорядковані.
Множину називають упорядкованою, якщо при її побудові істотним є порядок
розміщення елементів.
У противному разі множину називають невпорядкованою.
Імовірність подій не завжди можна визначити для будь-яких підмножин множини Ω (простору елементарних подій). У таких випадках доводиться обмежуватися певним класом підмножин, до якого висуваються вимоги замкненості відносно операцій додавання, множення та віднімання.
Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівномірних елементарних подій, тобто коли множина Ώ (простір елементарних подій) обмежена.